...ma ti appare un messaggio o proprio nulla ?

Hai provato anche ad avviare come amministratore ? cliccando sull'icona col destro e scegliendo avvia come amministratore...

A volte appare il messaggio "WebSite X5 WebInstaller" ma poi, se clicco sì su questa finestra, non succede più nulla.

Sì, ho provato ad avviare come amministratore ma ottengo lo stesso risultato di cui sopra..

...prova sempre come amministratore disattivando antivirus e firewall ...

E verifica anche che tra i programmi installati di non avere il "Lavasoft Web Companion" che è uno pseudo anti spyware che dà problemi con Website.

le librerie NET Framework sono necessarie almeno dalla versione 4. Le trovi qui

https://www.microsoft.com/it-it/download/details.aspx?id=48137

prova a installare queste e poi disinstalla e reinstalla website.