Welche php-Version läuft auf Deinem Webspace? Sie muss mindestens 7.1 sein, besser ist 7.3 oder 7.4. Allerdings nicht 8.0 oder höher. Diese funktionieren noch nicht mit websiteX5. 

Häufig betreffen solche Fehler auch die Einbindung von Cache-Programmen, die die php-Ausführung beschleunigen sollen.

Vielleicht gibt es bei Deinem Webhoster einen Schalter wie php-Boost aktivieren oder opCache aktivieren? Das solltest Du mal deaktivieren. Oder es gibt eine php.ini-Datei auf Deinem Webspace, in der ein solches Cache-Programm zB opcache eingebunden ist. Frage dazu mal den Provider.

Ich gehe nicht vom Problem des Servers und seinen Einstellungen aus, da beide Formulare auf dem gleichen Server liegen.

Ich habe gerade zur Sicherheit die Einstellungen überprüft:

php Version ist 7.3.27.

opcache ist auf On. 

Diese Einstellungen gelten für beide Formulare.

Hast Du opcache denn mal abgeschaltet? 

Nein, wozu? Hat ja keine Auswirkung.

Nochmal: Zwei idenstische Kontaktformulare auf dem gleichen Server, alle Einstellungen gleich. Ist doch Humbug bei der einen Webseite das opcache zu aktivieren und bei der anderen zu deaktivieren, oder?

Wenn Du meinst... an Deiner Stelle würde ich es zumindest versuchen. Aber es ist Deine Entscheidung. 

Kann aber auch sein, dass vielleicht der Code auf dem Webspace fehlerhaft ist. Deshalb den Webspace löschen und die Website noch mal komplett hochladen. 

Ich habe nun alles gemacht: Server gewechselt. Alle Beiden Seiten neu aufgespielt. opcache auf off (obwohl es Unsinn ist), Kontaktformular gelöscht. Website X5 geschlossen und wieder gestartet. Neues Kontaktformular gebaut. Webseite von Server gelöscht. Webseite auf Server hochgeladen.

Die Fehler bleiben die gleichen. 

Das eine Formular funktoniert, das andere nicht.

Dann solltest Du jetzt mal Deinen Provider (Webhoster) kontaktieren. Der wird Dir zwar zuerst mal sagen, dass es an der Website bzw. an WebsiteX5 liegt. Wenn davon auszugehen ist, dass die beiden Websites mit der gleichen WebsiteX5-Version erstellt wurden und Du keine zusätzlichen Scripte eingefügt hast, kann es nicht an WebsiteX5 liegen. Deine Admin-Seite sowie der BLOG bringen beide den HTTP-Fehler 500, der angezeigt wird, wenn der Server aus einem Grund, den er nicht identifizieren kann, nicht auf die angeforderte URL zugreifen kann. Hier eine Auswahl an typischen Fehlerquellen:

• Permission-Fehler: Die Berechtigungen der Hauptdateien und -ordner sind nicht korrekt gesetzt.
• PHP-Timeout: Das Skript versucht auf eine externe Ressource zuzugreifen und erfährt dabei ein Timeout.
• Fehlerhafter Code in .htaccess: Die Struktur in einer .htaccess-Datei kann falsch sein.
• Fehler in der Syntax oder dem Code in CGI-/Perl-Scripts: In manchen Fällen sind Skripte fehlerhaft. Besonders Pfade können falsch ausgerichtet sein.
• PHP-Memory-Limit: Ein Prozess überschreitet den Arbeitsspeicher und kann deshalb nicht korrekt ausgeführt werden.

Das müsstest Du nun in Zusammenarbeit mit dem Webhoster prüfen oder von ihm prüfen lassen.