Может, лучше вместо использования боковой полосы просто ставить на то место объект "меню"? И так же скрывать его на меньших разрешениях, как скрывается эта самая полоса. 

Нет, в данной ситуации это не будет лучше.

Сайт: https://pro-dymohody.by

Судя по картинкам, разрешение в опере меньше, чем в программе, в результате боковая полоса скрывается и появляется мобильное меню. Это видно по смещению элементов в шапке.

Можете поставить в настройках шаблона, что бы боковая полоса отображалась не только при максимально настроенном разрешении, но и при разрешении ниже максимального.

Слишком широко сделано, потому и проблемы.

А могно у вас шаблон попросить?  мне примерно такого рода сайт надо сделать .  Я там всё поменяю 

У меня в опере все отображается.